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Problèmes d'Analyse Spectrale De Processus De Markov Liés A La Méthode De Monte Carlo

PHC : Utique
Codes du projet : 16G1505 -- Campus N° 34880QB
Domaine : Mathématiques et leurs intéractions
Intitulé : Problèmes d'Analyse Spectrale De Processus De Markov Liés A La Méthode De Monte Carlo
Porteur(s) : FRANKE Brice, DAMAK Mondher
Date de début : 01/01/2016
Date de fin : 31/12/2019

Il s'agit de construire des systèmes dynamiques avec la capacité d’accélérer la MMCM. Dans le cas des diffusions sur les
surfaces il se trouve qu'il suffit de construire des flots periodiques avec des lignes de flots très oscillatoires.
Pour montrer le théorème on utilise des méthodes de réarrangements et de la géométrie spectrale (constante de Cheeger,
quotient de Rayleigh etc.). Cette même méthodes modifies devraient donner des résultats dans le cas de variétés de grandes
dimensions et aussi dans le cas des diffusions de Ornstein-Uhlenbeck généralisées.
Dans le cadre des algorithmes discrets on ce concentrer sur le cas ou la mesure invariante est une densité de la forme exp(-
H(x))/Z (c'est le cas notamment en imagerie).
On peut alors s’inspirer de la théorie de mécanique classique et essayer de trouver des systèmes dynamiques qui préservent
l’énergie définie par la fonction de Hamilton H(x). En grandes dimensions ces systèmes devraient former une classe suffisamment
riche de dynamiques qui préservent l’équilibre de l'algorithme.

Objectifs

Les Méthodes de Markov Monte Carlo sont utilisées en imagerie pour trouver par des moyens numériques des maxima de certaines fonctions de vraisemblances. Les algorithmes utilisés jusqu’à présent sont basées sur des processus de Markov réversibles en état d’équilibre.
Ceci nécessite une analyse de la vitesse avec laquelle ces processus atteignent leur équilibre. Il a été montré en 2006 par C.-R. Hwang que les processus réversibles peuvent être accéléré par une perturbation non-symétrique de leur générateur. Il reste alors à étudier comment choisir ces perturbations. On peut distinguer les MMCM du type diffusion basés sur des processus de Ornstein -Uhlenbeck généralisés et les chaines de Markov (échantillonneur de Gibbs et algorithme de Metropolis-Hastings).
Dans le cas des diffusions on peut étudier un problème analogue sur des variétés compactes. On ce pose alors la question de construire des champs vectoriels de divergence zéro qui agrandissent le trou spectral du générateur au dessus d'un seuil fixe d'avance. Cette question a ete traite par Hwang et Pai pour le cas du tore et par Franke et Yaakoubi pour le cas de la sphère.
Dans un manuscrit en preparation Franke et Yaakoubi donnent des principes de construction pour toutes les surfaces compactes. Il est prévu de traiter le cas de variétés compactes de dimensions supérieures dans le projet.
Ensuite il est prévu de démontrer le même type de résultats pour les processus du type Ornstein -Uhlenbeck (en traitant d’abord le cas particulier gaussien) . Il est prévu de traiter aussi des question du type analogue pour l’échantillonneur de Gibbs et l'algorithme de Metropolis-Hastings.
Dans ces cas on est a la recherche de systèmes dynamiques explicites que l'on superpose avec la dynamique aléatoire de l'algorithme. De plus le système dynamique doit préserver la mesure invariante qui décrit l’équilibre de la MMCM. Au lieu d’étudier des caractérisations spectrales de la vitesse de convergence (trou spectral, radius spectral) on peut aussi étudier d'autres caractéristiques comme la variance asymptotique.

Résultats

1. année:
Construction de systèmes dynamiques explicites sur les variétés de dimension plus grand que deux.
Compréhension de la vitesse de convergence de l’échantillonneur de Gibbs en relation avec la structure de dépendance de la loi invariante.

2. année:
Construction de systèmes dynamiques explicites pour les diffusions gaussiennes
Étude des moyens d’accélérer l’échantillonneur de Gibbs et l'algorithme de Metropolis Hastings par des systèmes dynamiques

3. année: Construction de systèmes dynamiques explicites pour les diffusions de Ornstein Uhlenbeck généralisées Etude de la variance asymptotique sous l'effet d'un système dynamique dans les trois cas (diffusion de Ornstein Uhlenbeck, échantillonneur de Gibbs, algorithme de Metroplois-Hastings)

Formation:
Pendant les trois ans les trois doctorants tunisiens vont bénéficier de stages a Brest pour pouvoir mener à bien leur projets de thèses.
Un workshop en Tunisie et un séminaire à Brest donneront l'occasion de discuter avec des experts du domaine.

Valorisation et Transfert technologique:
L’étude des Méthodes de Monte Carlo permet d’améliorer la performance des algorithmes d'imagerie utilise en un grand nombre de domaines...

Informations supplémentaires

Université de Bretagne Occidentale

Partenaire français
Brest
http://www.univ-brest.fr/

Laboratoire(s) ou unité(s) de recherche
Laboratoire de Mathématiques de Bretagne Atlantique (LMBA)


Responsable(s)
Brice FRAKE - LMBA - Brest - Tél :0298016207 - Email :secretariat-ubo@lmba-math.fr

Faculté des sciences de Sfax

Partenaire tunisien
Sfax
http://www.fss.rnu.tn/

Laboratoire(s) ou unité(s) de recherche
Laboratoire Algèbre Géométrie Théorie Spectrale (LR11ES53)


Responsable(s)
Mondher DAMAK - LR11ES53 - Sfax - Tél :0021698460875 - Email :mabrouk.benammar@gmail.com